Question

（本題滿分12分）

已知函數(shù)，當(dāng)恒成立的a的最小值為k，存在n個(gè)

正數(shù)，且，任取n個(gè)自變量的值

   （I）求k的值；

   （II）如果

   （III）如果，且存在n個(gè)自變量的值，使，求證：

Answer 1

（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）令，則，

，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)在條件下，，

 則在上為減函數(shù)，所以，

所以在上為減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)，即時(shí)，存在，使得，

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，則，

即在上遞減，則時(shí)，，

所以，即；      （2分）

當(dāng)，即時(shí)，，

則在上為增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

則在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即．

綜上，，則的最小值．             （4分）

（Ⅱ）不妨設(shè),

，，

所以在上為增函數(shù)，           （5分）

令．

,

當(dāng)時(shí), 因?yàn)?sub>，所以，   （7分）

即在上為增函數(shù)，所以，

則，

則原結(jié)論成立．          （8分）

（Ⅲ）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；

       （ⅱ）假設(shè)當(dāng)結(jié)論成立，即存在個(gè)正數(shù)，

時(shí)，對(duì)于個(gè)自變量的值, 有

．

當(dāng)時(shí)，

令存在個(gè)正數(shù), ，

令，則，

對(duì)于個(gè)自變量的值,

此時(shí)

．    （10分）

因?yàn)?sub>, 所以

所以時(shí)結(jié)論也成立，                     （11分）

綜上可得．

當(dāng)時(shí), ，              （12分）

所以在上單調(diào)遞增，

所以．