已知雙曲線(xiàn)=1(a＞0,b＞0)的動(dòng)弦BC平行于虛軸，M、N是雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn).

(1)求直線(xiàn)MB、CN的交點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若P(x1,y1),B(x2,y2),求證:a是x1、x2的比例中項(xiàng).

思路分析：由題意可知點(diǎn)M的位置是由B、C的位置所決定的,而B(niǎo)、C又是動(dòng)點(diǎn),如果將B、C的坐標(biāo)設(shè)為一般的形式,顯然很難計(jì)算,計(jì)算起來(lái)很復(fù)雜,故在此可考慮將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)形式,對(duì)于此題的計(jì)算很有幫助.

（1）解：由題意可設(shè)點(diǎn)B(asecθ,btanθ),則點(diǎn)C(asecθ-btanθ),又M(-a,0),N(a,0),

∴直線(xiàn)MB的方程為y=(x+a),直線(xiàn)CN的方程為(x-a).

將以上兩式相乘得點(diǎn)P的軌跡方程為=1.

（2）證明:因?yàn)镻既在MB上,又在CN上,由兩直線(xiàn)方程消去y1得x1=,而x2=asecθ,

所以有x1x2=a2,即a是x1、x2的比例中項(xiàng).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線(xiàn)=1(a＞0,b＞0)的動(dòng)弦BC平行于虛軸，M、N是雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn),

(1)求直線(xiàn)MB、CN的交點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若P(x1,y1)，B(x2,y2),求證:a是x1、x2的比例中項(xiàng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線(xiàn)=1(a＞0,b＞0)的離心率e∈［,2］，令雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)構(gòu)成的角中，以實(shí)軸為角平分線(xiàn)的角為θ,則θ的取值范圍是(    )

A.［］                    B.［］

C.［］                  D.［,π］

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線(xiàn)=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)F且傾斜角為60°的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率是(    )

A．            B．           C．4              D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線(xiàn)=1(a＞0,b＞0)的一條漸近線(xiàn)為y=kx(k＞0),離心率e=k,則雙曲線(xiàn)方程為(    )

A.=1                              B.=1

C.=1                               D.=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線(xiàn)=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線(xiàn)與一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)A,△OAF的面積為(O為原點(diǎn)),則兩條漸近線(xiàn)的夾角為(    )

A.30°        B.45°        C.60°          D.90°

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