Question

已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的動弦BC平行于虛軸，M、N是雙曲線的左、右頂點(diǎn),

(1)求直線MB、CN的交點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若P(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),求證:a是x₁、x₂的比例中項.

Answer 1

解析:由題意可知點(diǎn)M的位置是由B、C的位置所決定的,而B、C又是動點(diǎn),如果將B、C的坐標(biāo)設(shè)為一般的形式,顯然很難計算,計算起來很復(fù)雜,故在此可考慮將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)形式,對于此題的計算很有幫助.

（1）解:由題意可設(shè)點(diǎn)B(asecθ,btanθ),

則點(diǎn)C(asecθ-btanθ),又M(-a,0),N(a,0),?

∴直線MB的方程為y=(x+a),?

直線CN的方程為(x-a).?

將以上兩式相乘得點(diǎn)P的軌跡方程為x²a²+y²b²=1.

（2）證明:因為P既在MB上,又在CN上,由兩直線方程消去y₁得x₁=,而x₂=asecθ,所以有x₁x₂=a²,即a是x₁、x₂的比例中項.