Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a、b∈R，滿足  f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，令an=

f(2n)

2n

(n∈N*)則數(shù)列{an}的通項公式為（　　）

A．an=2n+1-3，(n∈N*)

B．an=2n，(n∈N*)

C．an=2n-1，(n∈N*)

D．an=n，(n∈N*)

Answer 1

分析：對抽象函數(shù)賦值，令a=2，b=2^n-1，可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，進而可得a₁，可得通項公式．

解答：解：令a=2，b=2^n-1，代入原式可得：
f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2），而f（2）=2
故上式可化為f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2ⁿ，
∴an=

f(2n)

2n

=

2f(2n-1)+2n

2n

=

f(2n-1)

2n-1

+1，
即a_n=a_n-1+1，而a1=

f(2)

2

=1，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n
故選D

點評：本題考查等差數(shù)列的定義，涉及抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．