Question

設(shè)f(x)是定義在R的偶函數(shù)，對(duì)任意xÎR，都有f(x-2)=f(x+2)，且當(dāng)xÎ[-2, 0]時(shí)， f(x)=．若在區(qū)間(-2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(    )

A．(1, 2)

B．(2,+¥)

C．(1,)

D．(, 2)

Answer 1

B

試題分析：畫出當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，函數(shù)f（x）=的圖象（如圖）．

∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)的函數(shù)f（x）的圖象與當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，函數(shù)f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
∵對(duì)任意x∈R，都有f（x+2）=f（2-x）成立，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
根據(jù)以上的分析即可畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，6]上的圖象．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可知不滿足題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)a＞1時(shí)，畫出函數(shù)y=log_a（x+2）的圖象．
若使函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）=0在區(qū)間(-2,6]內(nèi)有3個(gè)實(shí)根，而在（-2,0）必有一個(gè)實(shí)根，只需在區(qū)間（0，6]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（即關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0在區(qū)間（0，6]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根），則實(shí)數(shù)a滿足，log_a（6+2）＞3，
∴a³＜8，∴a＜2，又1＜a，∴1＜a＜2．故a的取值范圍為1＜a＜2．故選B．
點(diǎn)評(píng)：中檔題，此類題目在高考題中常常出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合思想，提供分析圖形特征，形象直觀的使問題得解。