Question

設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值為f（a），試確定滿足f(a)=

1

2

的a的值，并對此時(shí)的a值求y的最大值．

Answer 1

分析：先令cosx=t，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)；通過討論對稱軸和去件的位置關(guān)系找到最小值f（a）；再結(jié)合f(a)=

1

2

即可求出a的值并求出y的最大值．

解答：解：令cosx=t，t∈[-1，1]，
則y=2t²-2at-（2a+1），對稱軸t=

a

2

，
當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞增區(qū)間，ymin=1≠

1

2

；
當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞減區(qū)間，ymin=-4a+1=

1

2

，
得a=

1

8

，與a＞2矛盾；
當(dāng)-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時(shí)，ymin=-

a2

2

-2a-1=

1

2

，a2+4a+3=0
得a=-1，或a=-3，
∴a=-1，
此時(shí)y_max=-4a+1=5．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論問題．解決問題的關(guān)鍵在于討論對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系．