Question

設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值為f（a）．
求：（1）寫出f（a）的表達(dá)式；
（2）試確定能使f（a）=的a的值，并求此時函數(shù)y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的解析式，利用余弦函數(shù)的值域為[-1，1]，可將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，我們分≤-1，-1＜＜1，＞1，三種情況，分別求出函數(shù)y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值，即可得到f（a）的表達(dá)式（分段函數(shù)的形式）；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)f（a）的表達(dá)式，我們根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，分別構(gòu)造f（a）=的方程，在三種情況下，分別解方程求出滿足條件的根，即可得到滿足條件的x值，進而得到函數(shù)y的最大值．
解答：解：（1）y=2（cosx--．
∵-1≤cosx≤1，
∴
（2）當(dāng)a≤-2時，f（a）=1，從而f（a）=無解；
當(dāng)-2＜a＜2時，由得a²+4a-3=0，解之得a=-1或a=-3（舍去）；
當(dāng)a≥2時，由1-4a=得a=（舍去）．
綜上所述a=-1，此時有y=2（cosx+，
當(dāng)cosx=1時，即x=2kπ（k∈Z）時，y有最大值為5．
點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，二次函數(shù)在定區(qū)間的最值問題，分段函數(shù)，函數(shù)的值，是函數(shù)問題比較綜合的考查，有一定的難度，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)余弦函數(shù)的值域為[-1，1]，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，而（2）的關(guān)鍵是根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，分類討論解方程f（a）=．