Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S n=n2，數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

anan+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和T_n；
（II）若對(duì)任意的n∈N^*不等式λTn＜n+(-1)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=Sn-Sn-1 =2n-1，由此推導(dǎo)出a_n=2n-1，從而得到b_n=

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和T_n．
（II）由（I）得：λ＜

(2n+1)[n+(-1)n]

n

，由此進(jìn)行分類討論，能推導(dǎo)出對(duì)于任意的正整數(shù)n，原不等式恒成立，λ的取值范圍．

解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=Sn-Sn-1 =2n-1，驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，也成立；
所以，a_n=2n-1，
b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）

所以，T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

．
（II）由（I）得：λ＜

(2n+1)[n+(-1)n]

n

，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，λ＜

(2n+1)(n-1)

n

=2n-

1

n

-1恒成立，
因?yàn)楫?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2n-

1

n

-1單調(diào)遞增，
所以當(dāng)n=1時(shí)，2n-

1

n

-1取得最小值為0，
此時(shí)，λ＜0．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，λ＜

(2n+1)(n+1)

n

=2n+

1

n

+3恒成立，
因?yàn)楫?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2n+

1

n

+3單調(diào)遞增，所以當(dāng)n=2時(shí)，2n+

1

n

+3取得最小值為

15

2

，
此時(shí)，λ＜

15

2

．
綜上所述，對(duì)于任意的正整數(shù)n，原不等式恒成立，λ的取值范圍是（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運(yùn)用．