Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2n-1，設(shè)函數(shù)f（n）=

an，n為奇數(shù) f( n 2 )，n為偶數(shù)

，c_n=f（2ⁿ+4），n∈N₊，則：
（1）f（4）=

 

；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)解析式和a_n=2n-1求出f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1；
（2）再由c_n=f（2ⁿ+4）分別求出c₁、c₂，當(dāng)n≥3時(shí)根據(jù)自變量是偶數(shù)、奇數(shù)得：c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1），代入通項(xiàng)公式c_n化簡(jiǎn)后，對(duì)n分類討論分能求出T_n．

解答： 解：（1）由題意得，函數(shù)f（n）=

an，n為奇數(shù) f( n 2 )，n為偶數(shù)

，且a_n=2n-1，
∴f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，
（2）∵c_n=f（2ⁿ+4），n∈N₊，
∴c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=1，
當(dāng)n≥3時(shí)，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）
=a2n-2+1=2×(2n-2+1)-1=2^n-1+1，
∴n≥2時(shí)，T_n=5+1+（2²+1）+（2³+1）+…+（2^n-1+1）
=1+2+2²+2³+…+2^n-1+n+1
=2ⁿ+n，
則T_n=

5，n=1 2n+n，n≥2

，
故答案為：（1）1；（2）

5，n=1 2n+n，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，數(shù)列與函數(shù)結(jié)合問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．