Question

【題目】已知點(diǎn)是橢圓的左、右頂點(diǎn)， 為左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線與過點(diǎn)且垂直于軸的直線交于點(diǎn)，直線于點(diǎn).

（1）求證：直線與直線的斜率之積為定值；

（2）若直線過焦點(diǎn)， ，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)，利用點(diǎn)在橢圓上的條件，化簡，得到定值；（2）設(shè)直線的斜率分別是 ，并且表示直線，以及求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，表示直線的斜率，根據(jù)三點(diǎn)共線，表示，得到的齊次方程，求的值，并且代入求的值.

試題解析：（1）證明：設(shè)，由已知，

∴.①

∵點(diǎn)在橢圓上，∴.②

由①②得（定值）.

∴直線與直線的斜率之積為定值.

（2）設(shè)直線與斜率分別為，由已知，

直線的方程為，

直線，則.

∵，∴.

由（1）知，故，

又三點(diǎn)共線，得，

即，得.

∵，∴，

，解得或（舍去）.

∴.

由已知，得，

將代入，得，故.