已知橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點、，則內(nèi)切圓的圓面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

（1）；（2）圓的面積的最大值為，直線方程.

解析試題分析：本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及研究三角形內(nèi)切圓面積問題.（1）由橢圓的離心率和左焦點到點的距離為，建立方程組，求出、的值，從而得出橢圓方程；（2）是探索性問題，研究是否存在過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點、，使得內(nèi)切圓的圓面積最大的問題，求解分三個步驟，根據(jù)條件得出面積的關(guān)系式，將用直線的斜率的倒數(shù)表示，再通過函數(shù)知識求面積的最大值；由此求出直線的方程；將由面積關(guān)系式得到的面積的最大值代入面積關(guān)系式，即可得到圓的半徑的最大值，進而求出圓的面積的最大值.
試題解析：（1）設(shè)橢圓左焦點，則，解得，，
故所求橢圓方程為.
（2）設(shè)，，令，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長為，，
因此若最大，則最大，
又，由題設(shè)知直線的斜率不為0，可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組消去整理得，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
，
即，令，則，由此得，
令，即在上單調(diào)遞增，
，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，，），
這時所求內(nèi)切圓的面積的最大值為，
故直線的方程為，內(nèi)切圓的面積的最大值為.
考點：橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形的內(nèi)切圓面積.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓兩焦點坐標(biāo)分別為,，且經(jīng)過點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點，直線與橢圓交于兩點．若△是以為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線的方程．

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已知橢圓的離心率為,其中左焦點(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上,求m的值.

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在拋物線 y2＝4x上恒有兩點關(guān)于直線l：y＝kx＋3對稱，求k的范圍．

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如圖,已知拋物線的焦點為F，過F的直線交拋物線于M、N兩點，其準(zhǔn)線與x軸交于K點.

（1）求證：KF平分∠MKN；
（2）O為坐標(biāo)原點，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點P、Q，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|＝|PD|，當(dāng)P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，過點的兩直線與拋物線相切于A、B兩點， AD、BC垂直于直線，垂足分別為D、C．

（1）若，求矩形ABCD面積；
（2）若，求矩形ABCD面積的最大值．

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如圖，直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點，記△AOB的面積為S．

（1）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（2）當(dāng)｜AB｜＝2，S＝1時，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證: 直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

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