Question

16、如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E，F(xiàn)，G分別是AA₁，AC，BB₁的中點，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）求證：CG∥平面BEF； 
（Ⅱ）求證：CG⊥平面A₁C₁G．

Answer 1

分析：（I）要證明CG∥平面BEF，即證明平面BEF中存在一條直線與CG平行，連接AG交BE于D，則DF符合要求，證明DF∥CG后，利用線面平行的判定定理，即可得到答案．
（II）若要證明CG⊥平面A₁C₁G，我們可以證明平面A₁C₁G中有兩條相交直線與CG垂直，根據(jù)已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E，F(xiàn)，G分別是AA₁，AC，BB₁的中點，且CG⊥C₁G，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）連接AG交BE于D，連接DF，EG．
∵E，G分別是AA1，BB1的中點，
∴AE∥BG且AE=BG，∴四邊形AEGB是矩形．
∴D是AG的中點（3分）
又∵F是AC的中點，
∴DF∥CG（5分）
則由DF?平面BEF，
CG?平面BEF，
∴CG∥平面BEF，
（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面A₁B₁C₁，
∴C₁C⊥A₁C₁．
又∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，
即C₁B₁⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥面B₁C₁CB（9分）
而CG?面B₁C₁CB，
∴A₁C₁⊥CG（12分）
又CG⊥C₁G，∴
CG⊥平面A₁C₁G（14分）

點評：本題考查的知識點是直線 與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，其中熟練掌握判定定理的使用方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵．