Question

（2012•昌平區(qū)一模）已知函數f(x)=lnx+

1

x

+ax，x∈(0，+∞)（a為實常數）．
（1）當a=0時，求函數f（x）的最小值；
（2）若函數f（x）在[2，+∞）上是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數，確定函數的單調性，從而確定函數f（x）的最小值；
（2）先求導函數，再分別考慮導數大于0與小于0，分類討論即可．當a≥0時，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；當a＜0時，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零

解答：解：（1）a=0時，f′(x)=

x-1

x2

…..（2分）
當0＜x＜1時f'（x）＜0，
當x＞1時f'（x）＞0，…..（5分）
∴f（x）_min=f（1）=1…．（7分）
（2）f′(x)=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

當a≥0時，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；…（10分）
當a＜0時，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或

1+4a＞0 g(2)≤0 - 1 2a ≤2

，解得：a≤-

1

4

∴a的取值范圍是(-∞，-

1

4

]∪[0，+∞)…（14分）

點評：本題以函數為載體，考查導函數，考查函數的單調性，注意分類討論．