Question

函數(shù)f（x）=a^x-（m-2）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=2^x[f（x）-k]（k∈R）在[0，1]上的最大值為5，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）利用f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，得到f（0）=0，求出m=3，再驗(yàn)證，適合題意，得到本題結(jié)論；（2）（Ⅱ）由f（1）=

3

2

，得到a=2，
從而求出g（x）的解析式，換元后得到一個(gè)二次函數(shù)h（t），分類(lèi)討論研究二次函數(shù)的最大值，得到k=-1，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即1-（m-2）=0，
∴m=3．
驗(yàn)證，當(dāng)m=3時(shí)，f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數(shù)，適合題意．
∴m的值為3．
（Ⅱ）∵f（1）=

3

2

，
∴a=2，
即f（x）=2^x-2^-x．
∴g（x）=4^x-k•2^x-1．
令t=2^x，
∵x∈[0，1]，
∴t∈[1，2]，
∴h（t）=t²-kt-1=(t-

k

2

)2-1-

k2

4

，
當(dāng)

k

2

≤

3

2

時(shí)，即k≤3時(shí)，
h（t）_max=h（2）=3-2k，
即3-2k=5，得k=-1，
當(dāng)

k

2

＞

3

2

時(shí)，
即k＞3時(shí)，
h（t）_max=h（1）=-k，
即-k=5，得k=-5（舍）
∴k=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，還考查了換元轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題．