Question

設(shè)=（cosα，（λ-1）sinα），=（cosβ，sinβ）（λ＞0，0＜α＜β＜π）是平面上的兩個向量，且與互相垂直．
（1）求λ的值；
（2）若=，tanβ=，求tanα的值．

Answer 1

解：（1）由題設(shè)，得
•=-=cos²α+（λ-1）²sin²α-cos²β-sin²β=1-sin²α+（λ-1）²sin²α-1=（λ-1）²sin²α-sin²α；
∵與垂直，∴（λ-1）²sin²α-sin²α=0，即 λ（λ-2）sin²α=0，且0＜α＜π，∴sin²α≠0，
又 λ＞0，故 λ-2=0，∴λ=2；
（2）當(dāng)與垂直時，=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴•=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β），
∴cos（α-β）= （0＜α＜β＜π），即，∴sin（α-β）=，tan（α-β）=-，
∴tanα=tan[（α-β）+β]===．
分析：（1）由⊥得，（）•（）=0，代入數(shù)據(jù)計算，可求得λ的值；
（2）由（1）知，λ=2，且=，可得cos（α-β），進(jìn)而得sin（α-β），tan（α-β）的值，又知tanβ，
則tanα可表示為tan[（α-β）+β]，由此求出結(jié)果．
點(diǎn)評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，同角的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和與差的正弦，余弦，正切等知識；也考查了計算能力，屬于中檔題．