Question

【題目】已知點(diǎn)F1、F2為雙曲線(xiàn)C：x2﹣ =1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作垂直于x軸的直線(xiàn)，在x軸上方交雙曲線(xiàn)C于點(diǎn)M，∠MF1F2=30°．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)雙曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為P1、P2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)F2，M的坐標(biāo)分別為 ，

因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線(xiàn)C上，所以 ，即 ，所以 ，

在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°， ，所以

由雙曲線(xiàn)的定義可知：

故雙曲線(xiàn)C的方程為：

（2）解：由條件可知：兩條漸近線(xiàn)分別為

設(shè)雙曲線(xiàn)C上的點(diǎn)Q（x0，y0），設(shè)兩漸近線(xiàn)的夾角為θ，

則點(diǎn)Q到兩條漸近線(xiàn)的距離分別為 ，

因?yàn)镼（x0，y0）在雙曲線(xiàn)C： 上，

所以 ，又cosθ=﹣ ，

所以 =﹣

【解析】（1）設(shè)F2 ， M的坐標(biāo)分別為 ，求出|MF2|，Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，求出|MF1|，利用雙曲線(xiàn)的定義，即可求雙曲線(xiàn)C的方程；（2）求出兩條漸近線(xiàn)方程，可得點(diǎn)Q到兩條漸近線(xiàn)的距離，設(shè)兩漸近線(xiàn)的夾角為θ，可得 ，利用向量的數(shù)量積公式，即可求 的值．