Question

一片森林面積為a，計劃每年砍伐一批木材，每年砍伐面積的百分比相等，則砍伐到面積的一半時，所用時間是T年．為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的

1

4

．已知到今年為止，森林剩余面積為原來的

2

2

．
（1）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？
（2）今后最多還能砍伐多少年？

Answer 1

分析：（1）先設(shè)每年降低的百分比為x（0＜x＜1），再設(shè)經(jīng)過M年剩余面積為原來的

2

2

．根據(jù)題意：“到今年為止，森林剩余面積為原來的

2

2

．“列出關(guān)于M的等式即可解決問題；
（2）根據(jù)題意設(shè)從今年開始，以后砍了N年，再求出再砍伐N年后剩余面積，由題意，建立關(guān)于N的不等關(guān)系，利用一些不等關(guān)系即可求得今后最多還能砍伐多少年．

解答：解：設(shè)每年降低的百分比為x（0＜x＜1）
（1）設(shè)經(jīng)過M年剩余面積為原來的

2

2

．
則a(1-x) T=

1

2

a?Tlg(1-x)=lg

1

2

．
又a(1-x)M=

2

2

a?Mlg(1-x)=lg

2

2

．
∴

T

M

=log

2

2

1

2

=2?M=

T

2

，
∴到今年為止，已砍伐了

T

2

年．

（2）設(shè)從今年開始，以后砍了N年，則再砍伐N年后剩余面積為

2

2

a(1-x)N．
由題意，有

2

2

a(1-x)N≥

1

4

a，即

2

2

(1-x)N≥

1

4

由（1）知(1-x)T=

1

2

?1-x=(

1

2

)

1

T

．∴

2

2

•(

1

2

)

N

T

≥

1

4

．
化為(

1

2

)

N

T

≥

1

2 2

=(

1

2

)

3

2

∴

N

T

≤

3

2

?N≤

3

2

T
故今后最多還能砍伐

3

2

T年．

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、不等式的解法及指數(shù)式與對數(shù)式的互化，屬于基礎(chǔ)題．解決實際問題通常有四個步驟：
（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；
（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；
（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；
（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．