Question

在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：x²+y²=1經(jīng)過伸縮變換

x′=3x y′=2y

后，變?yōu)榍�線C′．
（1）求曲線C′的方程；
（2）求曲線C′上的點(diǎn)到直線x+2y-8=0距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由條件可得曲線C′的方程為：(

x′

3

)2+(

y′

2

)2=1，化簡可得結(jié)果．
（2）根據(jù)橢圓的參數(shù)方程為

x′=3cosθ y=2sinθ

，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （3cosθ，2sinθ）．求得點(diǎn)M到直線的距離為d=

|3cosθ+4sinθ-8|

5

=

|5cos(θ-α)-8|

5

，根據(jù)余弦函數(shù)的值域求得d的最小值．

解答： 解：（1）由x²+y²=1、

x′=3x y′=2y

，可得曲線C′的方程為：(

x′

3

)2+(

y′

2

)2=1，
化簡得：

x′2

9

+

y′2

4

=1．
（2）因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為

x′=3cosθ y=2sinθ

 （θ為參數(shù)），
所以可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （3cosθ，2sinθ）．
由點(diǎn)到直線的距離公式，得到點(diǎn)M到直線的距離為d=

|3cosθ+4sinθ-8|

5

=

|5cos(θ-α)-8|

5

，
由三角函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng) θ-α=0時(shí)，d取最小值為

3 5

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．