【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=﹣處取得極值.
(1)確定a的值;
(2)討論函數(shù)g(x)=f(x)ex的單調(diào)性.
【答案】(1) a=;(2) 在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)內(nèi)為減函數(shù),在(﹣4,﹣1)和(0,+∞)為增函數(shù).
【解析】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=3ax2+2x.
∵f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=﹣處取得極值,∴f′(﹣)=0,
∴3a+2(﹣)=0,∴a=;
(2)由(1)得g(x)=(x3+x2)ex,
∴g′(x)=(x2+2x)ex+(x3+x2)ex=x(x+1)(x+4)ex,
令g′(x)=0,解得x=0,x=﹣1或x=﹣4,
當(dāng)x<﹣4時(shí),g′(x)<0,故g(x)為減函數(shù);
當(dāng)﹣4<x<﹣1時(shí),g′(x)>0,故g(x)為增函數(shù);
當(dāng)﹣1<x<0時(shí),g′(x)<0,故g(x)為減函數(shù);
當(dāng)x>0時(shí),g′(x)>0,故g(x)為增函數(shù);
綜上知g(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)內(nèi)為減函數(shù),在(﹣4,﹣1)和(0,+∞)為增函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為梯形, , 平面, , , , 為中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)線段上是否存在一點(diǎn),使平面?若有,請(qǐng)找出具體位置,并進(jìn)行證明:若無(wú),請(qǐng)分析說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證此結(jié)論,從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男生30人、女生20人),給每位同學(xué)立體幾何題、代數(shù)題各一道,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答,選題情況統(tǒng)計(jì)如下表:(單位:人)
立體幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握認(rèn)為“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)?
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)得,選擇做立體幾何題的學(xué)生正答率為,且答對(duì)的學(xué)生中男生人數(shù)是女生人數(shù)的5倍,現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行研究,記抽取的兩人中答對(duì)的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】輪船由甲地逆水勻速行駛至乙地,甲、乙兩地相距s(km),水流速度為p(km/h),輪船在靜水中的最大速度為q(km/h)(p,q為常數(shù),且q>p),已知輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)用與輪船在靜水中的速度v(km/h)成正比,比例系數(shù)為常數(shù)k.
(1)將全程燃料費(fèi)用y(元)表示為靜水中速度v(km/h)的函數(shù);
(2)若s=100,p=10,q=110,k=2,為了使全程的燃料費(fèi)用最少,輪船的實(shí)際行駛速度應(yīng)為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)f(x)為增函數(shù),且f(f(x))=4x+9,g(x)=mx+m+3(m∈R).
(1)當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),若不等式g(x)>0恒成立,求m的取值范圍;
(2)如果函數(shù)F(x)=f(x)g(x)為偶函數(shù),求m的值;
(3)當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)滿足f(g(x))=g(f(x))時(shí),求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了參加師大附中第30界田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)的開(kāi)幕式,高三年級(jí)某6個(gè)班聯(lián)合到集市購(gòu)買了6根竹竿,作為班旗的旗桿之用,它們的長(zhǎng)度分別為3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1(單位:米).
(Ⅰ)若從中隨機(jī)抽取兩根竹竿,求長(zhǎng)度之差不超過(guò)0.5米的概率;
(Ⅱ)若長(zhǎng)度不小于4米的竹竿價(jià)格為每根10元,長(zhǎng)度小于4米的竹竿價(jià)格為每根元.從這6根竹竿中隨機(jī)抽取兩根,若期望這兩根竹竿的價(jià)格之和為18元,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班從6名班干部中(其中男生4人,女生2人),任選3人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng).
(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ,求ξ的分布列;
(2)求男生甲或女生乙被選中的概率.
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