Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣處取得極值．

（1）確定a的值；

（2）討論函數(shù)g（x）=f（x）ex的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】(1) a=;(2) 在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）內(nèi)為減函數(shù)，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）為增函數(shù).

【解析】（1）對f（x）求導(dǎo)得f′（x）=3ax2+2x．

∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣處取得極值，∴f′（﹣）=0，

∴3a+2（﹣）=0，∴a=；

（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）ex，

∴g′（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，

令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，

當x＜﹣4時，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；

當﹣4＜x＜﹣1時，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；

當﹣1＜x＜0時，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；

當x＞0時，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；

綜上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）內(nèi)為減函數(shù)，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）為增函數(shù)．