如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=
,M,N分別為PB,PD的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面ABCD;
(2) 過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PC,垂足為點(diǎn)Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.
(1)只需證 MN∥BD;(2)。
【解析】
試題分析:(1)如圖,連接BD.∵M(jìn),N分別為PB,PD的中點(diǎn),∴在△PBD中,MN∥BD.
又MN?平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.
(2)如圖建系:A(0,0,0),P(0,0,2),M
,N(
,0,
),C(
,3,0).
設(shè)Q(x,y,z),則C=(x-
,y-3,z),C
=(-
,-3,2
).
∵C=λC
=(-
λ,-3λ,2
λ),∴Q(
-
λ,3-3λ,2
λ).
由A⊥C
?A
·C
=0,得λ=
.即:Q
對(duì)于平面AMN:設(shè)其法向量為n=(a,b,c).
∵A=
,A
=(
,0,
).
則?
?
∴n=.
同理對(duì)于平面QMN,得其法向量為v=
記所求二面角A-MN-Q的平面角大小為θ,則cosθ=.
∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為.
考點(diǎn):線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理;線(xiàn)面平行的判定定理;二面角。
點(diǎn)評(píng):二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說(shuō)三求。②向量法,運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角,但結(jié)果往往求不對(duì),出現(xiàn)的問(wèn)題就是計(jì)算錯(cuò)誤。
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