Question

在△ABC中，角A、B、C的 對(duì)邊分別為a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若，求tanA及tanC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos2C，變形后求出sin²C的值，由C為三角形的內(nèi)角，得到sinC大于0，開方可得出sinC的值，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到的關(guān)系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sinB=sin（A+C），代入關(guān)系式中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinAsinC不為0，等式左右兩邊同時(shí)除以cosAcosC，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，即可得到所求式子的值；
（2）由第一問求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B換為π-（A+C），利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，將表示出的tanA代入，得到關(guān)于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值．
解答：解：（1）∵，cos2C=1-2sin²C，
∴，
∵C為三角形內(nèi)角，∴sinC＞0，
∴，
∵，∴，
∴sinC=，即2sinB=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，
∵sinA•sinC≠0，
∴；
（2）∵，
∴，
∵A+B+C=π，
∴．
∴，
整理得tan²C-tanC+16=0，
解得：tanC=4，
將tanC=4代入得：=4．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．