Question

如圖，△PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，四邊形ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，設(shè)BC=a．
（1）若a=

2

，求直線PC與平面ABCD所成的角；
（2）設(shè)M為AD的中點(diǎn)，求當(dāng)a為何值時(shí)，PM⊥CM？

Answer 1

分析：（1）設(shè)H是AB的中點(diǎn)，連接PH，CH．容易證明PH⊥平面ABCD，所以∠PCH為直線PC與平面ABCD所成的角，在RT△PCH中求解即可．
（2）連接MH，當(dāng)且僅當(dāng)CM⊥HM時(shí)，會(huì)有PM⊥CM．在△HNC中利用勾股定理得出關(guān)于a的方程并求解即可．

解答：解：（1）如圖，設(shè)H是AB的中點(diǎn)，連接PH，CH．

∵△PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∴PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD，∠PCH為直線PC與平面ABCD所成的角，
在RT△PCH中，PH=

3

，CH=

BC2+HB2

=

3

，
∴∠PCH=45°
（2）由（1）PH⊥平面ABCD，所以PH⊥CM，連接MH，如圖

當(dāng)CM⊥HM時(shí)，會(huì)有CM⊥平面PNH，從而PM⊥CM．
由于在△HNC中，HN2=HA2+AM2=

a2

4

+1，MC2=MD2+DC2=

a2

4

+4，HC²=HB²+BC²=a²+1，
由勾股定理得出

a2

4

+1+

a2

4

+4=a²+1，解得a²=8，a=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判定，線面角求解．考查空間想象能力、推理論證、轉(zhuǎn)化計(jì)算能力．