Question

（2013•南開(kāi)區(qū)二模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，側(cè)面PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，求證：PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求斜線PD與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)M，使得二面角M-BD-C的大小為60°，求

CM

CP

的值．

Answer 1

分析：（I）由Q為側(cè)面正三角形PAB的邊AB的中點(diǎn)，可得PQ⊥AB，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明線面垂直；
（II）通過(guò)結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得出；
（III）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角，進(jìn)而解出．

解答：（Ⅰ）證明：∵側(cè)面PAB是正三角形，AB的中點(diǎn)為Q，∴PQ⊥AB，
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，PQ?側(cè)面PAB，
∴PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則O（0，0，0），B(

3

，0，0)，C（0，1，0），D(-

3

，0，0)，P(

3

2

，-

1

2

，

3

)，

PD

=(-

3 3

2

，

1

2

，-

3

)，平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)，
設(shè)斜線PD與平面ABCD所成角的為α，
則sinα=|cos＜

m

，

PD

＞|=|

m • PD

| m || PD |

|=

3

27 4 + 1 4 +3

=

30

10

．
（Ⅲ）設(shè)

CM

=t

CP

=(

3

2

t，-

3

2

t，

3

t)，
則M(

3

2

t，-

3

2

t+1，

3

t)，

BM

=(

3

2

t-

3

，-

3

2

t+1，

3

t)，

DB

=2

3

(1，0，0)，
設(shè)平面MBD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

⊥

DB

?

n

•

DB

=0?x=0，

n

⊥

MB

?

n

•

MB

=0?(

3

2

t-

3

)x+(-

3

2

t+1)y+

3

tz=0，
取z=

3

，得

n

=(0，

6t

3t-2

，

3

)，又平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)．
∴|

m • n

| m | n |

|=|cos＜

m

，

n

＞|=|cos60°|，∴

3

3+( 6t 3t-2 )2

=

1

2

，
解得t=2（舍去）或t=

2

5

．
所以，此時(shí)

CM

CP

=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握正三角形的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角得出線面角、利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角是解題的關(guān)鍵．