Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A₁F∥平面D₁AE，則A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切值的取值范圍是

[2，2

2

]

．

Answer 1

分析：設(shè)平面AD₁E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn)，分別取B₁B、B₁C₁的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，可得到A₁F是平面A₁MN內(nèi)的直線，觀察點(diǎn)F在線段MN上運(yùn)動(dòng)，即可得到A₁F與平面BCC₁B₁所成角取最大值、最小值的位置，從而得到A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍．

解答：解：設(shè)平面AD₁E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn)
分別取B₁B、B₁C₁的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內(nèi)的相交直線
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結(jié)合A₁F∥平面D₁AE，可得直線A₁F?平面A₁MN，即點(diǎn)F是線段MN上上的動(dòng)點(diǎn)．
設(shè)直線A₁F與平面BCC₁B₁所成角為θ
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)F并加以觀察，可得
當(dāng)F與M（或N）重合時(shí)，A₁F與平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，此時(shí)所成角θ達(dá)到最小值，滿足tanθ=

A1B1

B1M

=2；
當(dāng)F與MN中點(diǎn)重合時(shí)，A₁F與平面BCC₁B₁所成角達(dá)到最大值，滿足tanθ=

A1B1

2 2 B1M

=2

2

∴A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍為[2，2

2

]
故答案為：[2，2

2

]．

點(diǎn)評：本題考查了正方體的性質(zhì)、直線與平面所成角、空間面面平行與線面平行的位置關(guān)系判定等知識(shí)，屬于中檔題．