設(shè)點(diǎn)A為半徑是1的圓O上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)B．

（1）求弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率；

（2）求弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓半徑的概率．

 

【答案】

（1）弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率為．（2）弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓的半徑的概率是．

【解析】(1) 設(shè)“弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)”為事件M，以點(diǎn)A為一頂點(diǎn)，在圓中作一圓內(nèi)接正三角形ACD，則要滿足題意點(diǎn)B只能落在劣弧CD上，又圓內(nèi)接正三角形ACD恰好將圓周3等分,這樣可得出劣弧CD的長(zhǎng)占整個(gè)圓周長(zhǎng)的.

(2) 以圓的半徑OA為邊長(zhǎng)作出兩正三角形AOC和AOD，如圖所示，

則AC=AD=圓的半徑OA，所以滿足題意的點(diǎn)B只能落在優(yōu)弧CD上,然后求出對(duì)應(yīng)的角,從而可求出優(yōu)弧CD的對(duì)應(yīng)的圓心角,進(jìn)而得到優(yōu)弧CD的長(zhǎng),其概率等于.

解：（1）設(shè)“弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)”為事件M，以點(diǎn)A為一頂點(diǎn)，在圓中作一圓內(nèi)接正三角形ACD，如右圖所示，

則要滿足題意點(diǎn)B只能落在劣弧CD上，又圓內(nèi)接正三角形ACD恰好將圓周3等分，故．  ……6分

答：弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率為．

（2）設(shè)“弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓的半徑”為事件N，

以圓的半徑OA為邊長(zhǎng)作出兩正三角形AOC和AOD，如圖所示，

則AC=AD=圓的半徑OA，所以滿足題意的點(diǎn)B只能落在優(yōu)弧CD上，

又，故劣弧CD的長(zhǎng)為，即優(yōu)弧CD的長(zhǎng)為

所以．

答：弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓的半徑的概率是．  ……12分

 

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設(shè)點(diǎn)A為半徑是1的圓O上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)B．
（1）求弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率；
（2）求弦AB的長(zhǎng)超過(guò)圓半徑的概率．

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（2006•朝陽(yáng)區(qū)一模）在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn+1=an（2an+1），n∈N*．
（Ⅰ）證明{an}是等差數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式；
（Ⅱ）在XOY平面上，設(shè)點(diǎn)列Mn（xn，yn）滿足an=nxn，Sn=n2yn，且點(diǎn)列Mn在直線C上，Mn中最高點(diǎn)為Mk，若稱直線C與x軸、直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間[a，b]上的面積，試求直線C在區(qū)間[x3，xk]上的面積；
（Ⅲ）是否存在圓心在直線C上的圓，使得點(diǎn)列Mn中任何一個(gè)點(diǎn)都在該圓內(nèi)部？若存在，求出符合題目條件的半徑最小的圓；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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