（2006•朝陽區(qū)一模）在各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，前n項和Sn滿足2Sn+1=an（2an+1），n∈N*．
（Ⅰ）證明{an}是等差數(shù)列，并求這個數(shù)列的通項公式及前n項和的公式；
（Ⅱ）在XOY平面上，設(shè)點(diǎn)列Mn（xn，yn）滿足an=nxn，Sn=n2yn，且點(diǎn)列Mn在直線C上，Mn中最高點(diǎn)為Mk，若稱直線C與x軸、直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間[a，b]上的面積，試求直線C在區(qū)間[x3，xk]上的面積；
（Ⅲ）是否存在圓心在直線C上的圓，使得點(diǎn)列Mn中任何一個點(diǎn)都在該圓內(nèi)部？若存在，求出符合題目條件的半徑最小的圓；若不存在，請說明理由．
分析：（Ⅰ）由2Sn=2
a
2
n
+an-1①，得2Sn+1=2
a
2
n+1
+an+1-1②，兩式相減可得遞推式，化簡后由等差數(shù)列的定義可作出判斷，根據(jù)等差數(shù)列通項公式及前n項和公式可得通項及前n項和；
（Ⅱ）由an=nxn，Sn=n2yn可得xn，yn，從而得點(diǎn)Mn，消掉參數(shù)n后可得直線C的方程，根據(jù)yn的單調(diào)性可求其最大值，從而得到最高點(diǎn)Mk，從而可得區(qū)間[x3，xk]，易判斷圖形形狀，由面積公式可求；
（Ⅲ）先列出直線C：3x-2y-1=0上的點(diǎn)列MnM1（1，1），M2（
3
4
，
5
8
），M3（
2
3
，
1
2
），…，Mn（
1
2
+
1
2n
，  
1
4
+
3
4n
），…而
lim
n→∞
(
1
2
+
1
2n
)=
1
2
，  
lim
n→∞
(
1
4
+
3
4n
)=
1
4
，
可知點(diǎn)列Mn沿直線C無限接近于極限點(diǎn)M（
1
2
，
1
4
），則以M1M為直徑的圓為滿足條件的最小圓；
解答：（Ⅰ）證明：由已知得2Sn=2
a
2
n
+an-1①，
故2Sn+1=2
a
2
n+1
+an+1-1②，
②-①得2an+1=2
a
2
n+1
-2
a
2
n
+an+1-an，
結(jié)合an＞0，得an+1-an=
1
2
，
∴{an}是等差數(shù)列，
又n=1時，2a1=2
a
2
1
+a1-1，解得a1=1或a1=-
1
2
，∵an＞0，∴a1=1，
又d=
1
2
，故an=1+
1
2
(n-1)=
1
2
n+
1
2
，
∴Sn=n+
1
2
•
n(n-1)
2
=
1
4
n2+
3
4
n；
（II）∵an=nxn，Sn=n2yn，
∴xn=
an
n
=
1
2
+
1
2n
，yn=
Sn
n2
=
1
4
+
3
4n
，即得點(diǎn)Mn(
1
2
+
1
2n
，  
1
4
+
3
4n
)，
設(shè)x=
1
2
+
1
2n
，y=
1
4
+
3
4n
，消去n，得3x-2y-1=0，即直線C的方程為3x-2y-1=0，
又y=
1
4
+
3
4n
是n的減函數(shù)，∴M1為Mn中的最高點(diǎn)，且M1（1，1），
又M3的坐標(biāo)為（
2
3
，
1
2
），∴C與x軸、直線x=
2
3
、x=1圍成的圖形為直角梯形，
從而直線C在[
2
3
，1]上的面積為S=
1
2
×(
1
2
+1)×(1-
2
3
)=
1
4
；
（III）由于直線C：3x-2y-1=0上的點(diǎn)列Mn依次為M1（1，1），M2（
3
4
，
5
8
），M3（
2
3
，
1
2
），…，Mn（
1
2
+
1
2n
，  
1
4
+
3
4n
），…
而
lim
n→∞
(
1
2
+
1
2n
)=
1
2
，  
lim
n→∞
(
1
4
+
3
4n
)=
1
4
，
因此，點(diǎn)列Mn沿直線C無限接近于極限點(diǎn)M（
1
2
，
1
4
），
又
1
2
|M1M|=
1
2
(1-
1
2
)2+(1-
1
4
)2
=
13
8
，M1M的中點(diǎn)為（
3
4
，
5
8
），
∴滿足條件的圓存在，事實上，圓心為（
3
4
，
5
8
），半徑r≥
13
8
的圓，就能使得Mn中任何一個點(diǎn)都在該圓的內(nèi)部，其中半徑最小的圓為(x-
3
4
)2+(y-
5
8
)2=
13
64
．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式及數(shù)列與直線圓的綜合題，考查學(xué)生對問題的分析理解能力及轉(zhuǎn)化能力．
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（2006•朝陽區(qū)一模）已知向量
a
=（2，3），
b
=（1，2），且(
a
+λ
b
)⊥(
a
-
b
)，則λ等于（　�。�

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5-i
5-i
．

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（2006•朝陽區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=
ax
x2+b
，在x=1處取得極值為2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若P（x0，y0）為f(x)=
ax
x2+b
圖象上的任意一點(diǎn)，直線l與f(x)=
ax
x2+b
的圖象相切于點(diǎn)P，求直線l的斜率的取值范圍．

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2
3
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x1，x2∈[-1，1]時，求證：|f(x1)-f(x2)|≤
4
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•朝陽區(qū)一模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，一條準(zhǔn)線的方程是x=1，過橢圓的左焦點(diǎn)F，且方向向量為
a
=（1，1）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M．
（Ⅰ）求直線OM的斜率（用a、b表示）；
（Ⅱ）直線AB與OM的夾角為α，當(dāng)tanα=2時，求橢圓的方程；
（Ⅲ）當(dāng)A、B兩點(diǎn)分別位于第一、三象限時，求橢圓短軸長的取值范圍．

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