【題目】如圖,點(diǎn)P是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn),且平面ABCD,
,
,
.
(1)求證:平面平面PCE;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取PC中點(diǎn)M,連接BD交AC于O,連接OM,EM.根據(jù)菱形性質(zhì)可得,再由
即可證明
平面PAC,進(jìn)而利用平行四邊形性質(zhì)可證明
,即可得
平面PAC,結(jié)合平面與平面垂直的判定即可證明平面
平面
;
(2)以OB,OC,OM所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可設(shè),寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo).利用向量的數(shù)量積求得平面
和
平面的法向量,即可利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求得夾角的余弦值.
(1)證明:取PC中點(diǎn)M,連接BD交AC于O,連接OM,EM.如下圖所示:
在菱形ABCD中,,
平面ABCD,
平面ABCD,
,
又,PA,
平面PAC,
平面PAC,
,M分別是AC,PC的中點(diǎn),
,
,
又,
,
,
,
四邊形OMED是平行四邊形,則
,
平面PAC,
又平面PCD,
平面
平面PCE.
(2)由(1)得平面PAC﹐則OB,OC,OM兩兩垂直,以OB,OC,OM所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示
設(shè),則
,
,
,
,
,
,
,
設(shè)是平面BPC的一個法向量,則
,即
,
,
設(shè)是平面FPC的一個法向量,同理得,
,
由圖可知二面角為銳二面角
二面角
的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電視臺舉行一個比賽類型的娛樂節(jié)目,A、B兩隊(duì)各有六名選手參賽,將他們首輪的比賽成績作為樣本數(shù)據(jù),繪制成莖葉圖如圖所示,為了增加節(jié)目的趣味性,主持人故意將A隊(duì)第六位選手的成績沒有給出,并且告知大家B隊(duì)的平均分比A隊(duì)的平均分多4分,同時規(guī)定如果某位選手的成績不少于21分,則獲得“晉級”.
(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),求出A隊(duì)第六位選手的成績;
(2)主持人從A隊(duì)所有選手成績中隨機(jī)抽取2個,求至少有一個為“晉級”的概率;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)).現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ.
(Ⅰ)寫出直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)M(-1,0)且與直線l平行的直線l1交C于A,B兩點(diǎn),求|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線,
,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在
上.
(1)若圓心C也在直線上,①求圓C的方程;
②過點(diǎn)作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓在直線截得的弦長為
,求圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,
,且
.以
所在直線為
軸,
中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求動點(diǎn)的軌跡
的方程;
(Ⅱ)已知定點(diǎn),不垂直于
的動直線
與軌跡
相交于
兩點(diǎn),若直線
關(guān)于直線
對稱,求
面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】要得到的圖象
,只要將
圖象
怎樣變化得到( )
A.將的圖象
沿x軸方向向左平移
個單位
B.將的圖象
沿x軸方向向右平移
個單位
C.先作關(guān)于x軸對稱圖象
,再將圖象
沿x軸方向向右平移
個單位
D.先作關(guān)于x軸對稱圖象
,再將圖象
沿x軸方向向左平移
個單位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
為
的導(dǎo)函數(shù).
(1)求證:在
上存在唯一零點(diǎn);
(2)求證:有且僅有兩個不同的零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十三屆全國人大二次會議于2019年3月5日在京召開為了了解某校大學(xué)生對兩會的關(guān)注程度,學(xué)校媒體在開幕后的第二天,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了180人,對是否收看2019年兩會開幕會情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
收看 | 沒收看 | |
男生 | 80 | 40 |
女生 | 30 | 30 |
(1)根據(jù)上表說明,在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,能否認(rèn)為該校大學(xué)生收看開幕會與性別有關(guān)?(計(jì)算結(jié)果精確到0.001)
(2)現(xiàn)從隨機(jī)抽取的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法選取6人,來參加2019年兩會的志愿者宣傳活動,若從這6人中隨機(jī)選取2人到各班級宣傳介紹,求恰好選到一名男生和一名女生的概率. 附,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C:y=,D為直線y=
上的動點(diǎn),過D作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.
(1)證明:直線AB過定點(diǎn):
(2)若以E(0,)為圓心的圓與直線AB相切,且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),求四邊形ADBE的面積.
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