Question

當0≤x≤2時，函數(shù)y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1的最大值為3，則實數(shù)a=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題中的函數(shù)是一個復合函數(shù)，求解此類函數(shù)在區(qū)間上的最值，一般用換元法，把復合函數(shù)的最值問題變?yōu)閮蓚�函數(shù)的最值問題，以達到簡化解題的目的．

解答： 解：設2^x=t，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4
原式化為：y=

1

2

（t-a）²+1，1≤t≤4
當a≤

5

2

時，y=

1

2

（t-a）²+1[1，a]是減函數(shù)，在[a，4]上是增函數(shù)，
故y_min=1，y_max=

a2

2

-4a+9=3，∴a=2或6，2符合；
當a＜

5

2

時，y_max=

a2

2

-a+

3

2

=3，∴a=-1或3，3符合．
故答案為：2或3．

點評：本題考點是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用，考查指數(shù)復合型函數(shù)最值的求法，做此題時，采取了換元法求最值，其具體操作過程是先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再求外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)值域上的最值，此解法大大降低了判斷復合函數(shù)單調(diào)性的難度，使得復合函數(shù)最值的求解變得容易，求解復合函數(shù)的最值時注意靈活使用這一技巧．