Question

已知：函數(shù).（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…〉.
(1) 當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；
(2) 當時，試求函數(shù)的極值；
(3)若，則當時，函數(shù)的圖象是否總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，請寫出判斷過程.

Answer 1

解析：
（1）
所以，當時函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為1
故所求切線方程為……………………..2分
（2）當時恒成立，函數(shù)定義域為R
又單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增
所以函數(shù)的極大值為，極大值為…………………..5分
（3）①當時
法一：因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以其最小值為，而函數(shù)在的最大值為1，所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..6分
法二：因為
而當時，
又，，即當時成立
所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..6分
②當時，
法一：仿上可得函數(shù)在上時，上述結(jié)論仍然成立……………..7分
法二：因為，由（2）知
而當時
又，，即當時成立……………..7分
而當時，因為函數(shù)遞減，其最小值為
所以，下面判斷的關(guān)系，即判斷的關(guān)系，
令
單調(diào)遞增

使得
上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增……………………………..10分
所以

即也即
所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..12分

略