Question

在△ABC中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

成立；在凸四邊形ABCD中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

≥

16

2π

成立；在凸五邊形ABCDE中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

+

1

E

≥

25

3π

成立．根據(jù)以上情況，猜想在凸n邊形A₁A₂…A_n（n≥3）中的成立的不等式是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中△ABC中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

成立；在凸四邊形ABCD中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

≥

16

2π

成立；在凸五邊形ABCDE中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

+

1

E

≥

25

3π

成立．觀察分子與多邊形邊的關(guān)系及分母中π的系數(shù)與多邊形邊的關(guān)系，即可得到答案．

解答：解：由已知中已知的多邊形角的倒數(shù)所滿足的不等式：
△ABC中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

成立；
凸四邊形ABCD中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

≥

16

2π

成立；
凸五邊形ABCDE中，不等式

1

A

+

1

B

+

1

C

+

1

D

+

1

E

≥

25

3π

成立；
…
由此推斷凸n邊形A₁A₂…A_n（n≥3）中的成立的不等式是：

1

A1

+

1

A2

+…+

1

An

≥

n2

(n-2)π

(n≥3)
故答案為：

1

A1

+

1

A2

+…+

1

An

≥

n2

(n-2)π

(n≥3)

點評：本題考查的知識點是歸納推理，其中根據(jù)已知分析分子與多邊形邊的關(guān)系及分母中π的系數(shù)與多邊形邊的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．