Question

【題目】已知函數(shù)．

(Ⅰ)當時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若對任意的和恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)首先求得導函數(shù)，然后結(jié)合導函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可； (Ⅱ)將原問題進行等價轉(zhuǎn)化為，，恒成立，然后構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實數(shù)的取值范圍即可．

解：(Ⅰ)當時，，

當時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時，由得：；由得：．

∴當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間：

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．

(Ⅱ)對任意的和，恒成立等價于：

，，恒成立．

即，，恒成立．

令：，，，

則得，

由此可得：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴當時，，即

又∵，

∴實數(shù)的取值范圍是：．