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【題目】已知函數．

(Ⅰ)當時，討論函數的單調區(qū)間；

(Ⅱ)若對任意的和恒成立，求實數的取值范圍．

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)首先求得導函數，然后結合導函數的解析式分類討論函數的單調性即可； (Ⅱ)將原問題進行等價轉化為，，恒成立，然后構造新函數，結合函數的性質確定實數的取值范圍即可．

解：(Ⅰ)當時，，

當時，在上恒成立，函數在上單調遞減；

當時，由得：；由得：．

∴當時，函數的單調遞減區(qū)間是，無單調遞增區(qū)間：

當時，函數的單調遞減區(qū)間是，函數的單調遞增區(qū)間是．

(Ⅱ)對任意的和，恒成立等價于：

，，恒成立．

即，，恒成立．

令：，，，

則得，

由此可得：在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

∴當時，，即

又∵，

∴實數的取值范圍是：．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】圓的方程為：，為圓上任意一點，過作軸的垂線，垂足為，點在上，且.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與曲線交于、兩點，點的坐標為，的面積為，求的最大值，及直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知依次滿足

（1）求點的軌跡；

（2）過點作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數

討論函數的單調性；

設，對任意的恒成立，求整數的最大值；

求證：當時，

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數之比為，且成績分布在，分數在以上（含）的同學獲獎. 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）.

（1）求的值，并計算所抽取樣本的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過的把握認為“獲獎與學生的文理科有關”？

文科生

理科生

合計

獲獎

不獲獎

合計

附表及公式：

，其中

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】現采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率；先由計算器給出0到9之間取整數值的隨機數，指定0、1、2、3表示沒有擊中目標， 4、5、6、7、8、9表示擊中目標，以4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數，根據以下數據估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為（ ）

7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】40名學生某次數學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如下：

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）根據頻率分布直方圖求出樣本數據的中位數 （保留小數點后兩位數字）和眾數；

（3）從成績在的學生中任選3人，求這3人的成績都在中的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，過橢圓E：（a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓E于P，Q兩點，點A，B是橢圓E的頂點，且AB∥OP，F2為右焦點，△PF2Q的周長為8．

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點F1作直線l與橢圓E交于C，D兩點，若△OCD的面積為，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖（一），在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=CP，D是CP的中點，將△PAD沿AD折起，使點P到達點P′的位置得到圖（二），點M為棱P′C上的動點．

（1）當M在何處時，平面ADM⊥平面P′BC，并證明；

（2）若AB=2，∠P′DC=135°，證明：點C到平面P′AD的距離等于點P′到平面ABCD的距離，并求出該距離．

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