Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，比較f（x）和h（x）的大�。�
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令2，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，T_2n＜．

Answer 1

解（1）令，則，
∴g（x）在（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增，g（x）＞g（0）=0，即當(dāng)x＞0時(shí)，
即當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞h（x），
（2）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以，故a_n=（n+1）•2ⁿ．
（3）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/124817.png' />，
則當(dāng)n≥2時(shí)，==．
下面證
由（1）知當(dāng)x＞0時(shí)，
令，，，
，，
以上n個(gè)式相加，即有
∴．
分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求函數(shù)的單調(diào)性和最值；（2）根據(jù)S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹及，可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）把（2）求得的結(jié)果代入，求得，∴進(jìn)行變形，利用（1）的結(jié)論即可證明不等式．
點(diǎn)評：此題是個(gè)難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強(qiáng)，特別是問題（3）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．