Question

已知f（x）=|x|-|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤0的解集A；
（2）若不等式mx+m-1＞0對任何x∈A恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式f（x）≤0，即|x|≤|x+1|，平方求得不等式的解集．
（2）由題意可得當(dāng)x≥-

1

2

時，m＞

1

x+1

恒成立．利用單調(diào)性求得函數(shù)y=

1

x+1

在[-

1

2

，+∞）上的最大值為2，從而其肚餓m的范圍．

解答： 解：（1）不等式f（x）≤0，即|x|-|x+1|≤0，即|x|≤|x+1|，
平方求得 x≥-

1

2

，故不等式的解集為[-

1

2

，+∞）．
（2）由題意可得當(dāng)x≥-

1

2

時，mx+m-1＞0恒成立，即 m＞

1

x+1

 恒成立．
由于函數(shù)y=

1

x+1

在[-

1

2

，+∞）上是減函數(shù)，故y的最大值為

1

- 1 2 +1

=2，
故有m≥2，即m的范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查分式不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題．利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．