Question

已知數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和
（1）令b_n=2ⁿa_n，求證：數(shù)列b_n是等差數(shù)列，并求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式．
（2）令，試比較T_n與的大小，并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知S₁=-a₁-1+2=a₁，，所以2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1，b_n=b_n-1+1，再由b₁=2a₁=1，知數(shù)列b_n是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，所以
（2），，利用錯(cuò)位相減求和法可知，于是確定T_n與的大小關(guān)系等價(jià)于比較2ⁿ與2n+1的大小．猜想當(dāng)n=1，2時(shí)，2ⁿ＜2n+1，當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ＞2n+1．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：（1）在中，令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即
當(dāng)n≥2時(shí)，
所以
所以，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1
因?yàn)閎_n=2ⁿa_n，所以b_n=b_n-1+1，即當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=1
又b₁=2a₁=1，所以數(shù)列b_n是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，所以
（2）由1）得
所以①②
由①-②得
所以
于是確定T_n與的大小關(guān)系等價(jià)于比較2ⁿ與2n+1的大�。�
猜想當(dāng)n=1，2時(shí)，2ⁿ＜2n+1，當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ＞2n+1
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=3時(shí)，顯然成立
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，2^k＞2k+1成立
則當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
于是，當(dāng)n≥3，n∈N^*時(shí)，2ⁿ＞2n+1成立
綜上所述，當(dāng)n=1，2時(shí)，，
當(dāng)n≥3時(shí)，
點(diǎn)評(píng)：本題考查當(dāng)數(shù)列的綜合運(yùn)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘隱含條件，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的解題過程．