已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N），
（1）試計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式；
（2）證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式．
分析：（1）先根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分別是等差數(shù)列進(jìn)而可猜想出Sn．
（2）利用an=Sn-Sn-1，整理出an的遞推式，進(jìn)而用疊乘法求得an．
解答：解：（1）由a1=1，Sn=n2an（n∈N）得S1=1，S2=
4
3
，S3=
3
2
，S4=
8
5

猜想Sn=
2n
n+1
(n∈N)
（2）證明：∵Sn=n2an①∴Sn-1=（n-1）2an-1②
①-②得Sn-Sn-1=n2an-（n-1）2an-1
∴an=n2an-（n-1）2an-1
化簡得
an
an-1
=
n-1
n+1
∴
a2
a1
=
1
3
，
a3
a2
=
2
4
，
a4
a3
=
3
5
，…，
an
an-1
=
n-1
n+1

把上面各式相乘得
an
a1
=
2
n(n+1)

∴an=
2
n(n+1)
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．?dāng)?shù)列的遞推式是高考中常考的題型，涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和問題，數(shù)列與不等式的綜合等問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=
32
(an-1)，n∈N+．
（1）求an的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)n∈N+，集合An={y|y=ai，i≤n，i∈N+}，B={y|y=4m+1，m∈N+}．現(xiàn)在集合An中隨機(jī)取一個(gè)元素y，記y∈B的概率為p（n），求p（n）的表達(dá)式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列
an
的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=1-an （n∈N*）
（I ）求數(shù)列
an
的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知數(shù)列
bn
的通項(xiàng)公式bn=2n-1，記cn=anbn，求數(shù)列
cn
的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an}的前n項(xiàng)和為sn，滿足（p-1）sn=p2-an，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n≥M時(shí)，a1a4a7…a3n-2＞a36恒成立，求出M的最小值；
（3）當(dāng)p=2時(shí)，數(shù)列an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x，y均為整數(shù)，求出x，y的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn．
（Ⅰ）若數(shù)列an是等比數(shù)列，滿足2a1+a3=3a2，a3+2是a2，a4的等差中項(xiàng)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在等差數(shù)列ann∈N*，使對任意n∈N*都有an•Sn=2n2(n+1)？若存在，請求出所有滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案