Question

【題目】若函數(shù)f(x)=ax3－bx＋4，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f(x)有極值－.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)f(x)＝x3－4x＋4.(2)－＜k＜.

【解析】試題分析：（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)，可求出的值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式；（2）由（1）得到函數(shù)解析式，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；進(jìn)而確定函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象可求出的范圍.

試題解析：(1)由題意可知f′(x)＝3ax2－b，

于是解得 故所求的解析式為f(x)＝x3－4x＋4.

(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.

當(dāng)x變化時(shí)f′(x)、f(x)的變化情況如下表所示：

x	(－∞，－2)	－2	(－2,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	單調(diào)遞增		單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有極大值； 當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有極小值.

所以函數(shù)的大致圖象如圖．

由圖可知，關(guān)于x的方程f(x)=k有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .