Question

設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)求：

（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）的最小值與最大值.

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解法一：直線l過點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為 記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組 　　 　　 　　 ② 　　 　　   　　 　　 　　 ① 　　 　　                    的解.… 將①代入②并化簡(jiǎn)得，，所以 于是 … 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則 消去參數(shù)k得     ③ 當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方 程為解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以   ④               ⑤ ④—⑤得，所以 當(dāng)時(shí)，有      ⑥ 并且    ⑦   將⑦代入⑥并整理得     ⑧ 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，－2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0） 也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為 …（2）解：由點(diǎn)P的軌跡方程知所以 故當(dāng)，取得最小值，最小值為時(shí)，取得最大值， 最大值為