Question

設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：
（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）的最小值與最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出直線l的方程，A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，利用直線方程表示出y₁+y₂，然后利用求得的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后聯(lián)立方程消去參數(shù)k求得x和y的關(guān)系式，P點(diǎn)軌跡可得．
（2）根據(jù)點(diǎn)P的軌跡方程求得x的范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得||，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和x的范圍求得其最大和最小值．
解答：解：（1）直線l過點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1．
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是方程組
的解．
將①代入②并化簡得，（4+k²）x²+2kx-3=0，所以，
于是．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則消去參數(shù)k得4x²+y²-y=0③
當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方
程為4x²+y²-y=0．
（2）解：由點(diǎn)P的軌跡方程知，即．所以
故當(dāng)，取得最小值，最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值，
最大值為．
點(diǎn)評：本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．