Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，O、D、E分別是棱AB、A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁
（Ⅱ）求證：平面OCC₁D⊥平面ABB₁A₁
（Ⅲ）求二面角E-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接OA₁，由已知得EF∥OA₁，OBDA₁為平行四邊形，從而OA₁∥BD，由此能證明EF∥平面BDC₁．
（Ⅱ）由已知得AA₁⊥OC，OC⊥AB，從而OC⊥平面ABB₁ A₁，由此能證明平面OCC₁D⊥平面ABB₁ A₁．
（Ⅲ）法一：建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-BC₁-D的余弦值．
（Ⅲ）法二：CODC₁為平行四邊形，從而C₁D∥CO，過E作EG⊥BD于G，過G作GH⊥BC₁于H，連接EH，∠GHE為所求二面角E-BC₁-D的平面角，由此能求出二面角E-BC₁-D余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖1，連接OA₁，
O為AB的中點(diǎn)，且AF=

1

4

AB
∴AF=FO，又E為A A₁的中點(diǎn)，
∴EF∥OA₁（2分）
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
A₁B₁∥AB且A₁B₁=AB，
∵O、D分別為AB、A₁B₁中點(diǎn)，
∴OB∥A₁D且OB=A₁D，
∴OBDA₁為平行四邊形，∴OA₁∥BD（3分）
∴EF∥BD，又EF?平面BDC，BD?平面BDC
∴EF∥平面BDC₁．（4分）
（Ⅱ）證明：如圖1，∵AA₁⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴AA₁⊥OC，（5分）
∵AB=BC，O為AB中點(diǎn)
∴OC⊥AB，又AB、AA₁?平面ABB₁ A₁，AB∩AA₁=A（6分）
∴OC⊥平面ABB₁ A₁，又OC?平面OCC₁D
∴平面OCC₁D⊥平面ABB₁ A₁．（8分）
（Ⅲ）解法一，如圖2建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)AB=2
則A（0，-1，0），A₁（0，-1，2），E（0，-1，1），
C1(

3

，0，2)，B(0，1，0)，D(0，0，2)，（9分）
∴

BC1

=(

3

，-1，2)，

BE

=(0，-2，1)，

BD

=(0，-1，2)
設(shè)平面EBC₁的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)
則

n1 • BC1 = 3 x1-y1+2z1=0 n1 • BE =-2y1+z1=0

取

n1

=(-

3

，1，2)（10分）
設(shè)平面DBC₁的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)
則

n2 • BC1 = 3 x2-y2+2z2=0 n2 • BD =-y1+2z1=0

取

n1

=(0，2，1)（11分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

4

2 2 • 5

=

10

5

故所求二面角E-BC₁-D的余弦值為

10

5

．（12分）
（Ⅲ）解法二，如圖1，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中
∵O、D分別為AB、A₁B₁的中點(diǎn)
∴OD平行且等于AA₁，AA₁平行且等于CC₁，
∴CODC₁為平行四邊形，
∴C₁D∥CO，由（Ⅱ）知，OC⊥平面ABB₁ A₁
∴C₁D⊥平面ABB₁ A₁
∴面C₁DB⊥平面ABB₁A₁（9分）
過E作EG⊥BD于G，過G作GH⊥B C₁于H，連接EH
∴EG⊥平面BDC₁，EG⊥GH，EG⊥BC₁
∴BC₁⊥平面EGH，BC₁⊥EH，
∴∠GHE為所求二面角E-BC₁-D的平面角（10分）
設(shè)AB=2，連接DE，則BE=BD=

5

，DE=

2

，
∴S△BDE=4-

1

2

-1-1=

1

2

•

5

•EG，∴EG=

3 5

5

，BG=

4 5

5

∵

GH

C1D

=

BH

C1B

，又C1D=

3

，C1B=2

2

，∴GH=

30

5

，EH=

3

（11分）
∴cos∠GHE=

GH

EH

=

10

5

，
故所求二面角E-BC₁-D余弦值為

10

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．