Question

直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，B（-

3

，0）C（

3

，0），作AD⊥BC于D，動(dòng)點(diǎn)E滿足

.

AE

=（1-

3

3

） 

.

AD

，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的軌跡為曲線G，
（1）求曲線A的軌跡方程；
（2）求曲線G的軌跡方程；
（3）設(shè)直線L與曲線G交于M、N兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線L的距離為

3

2

，求|MN|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由圓的性質(zhì)可得：直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)A的軌跡為圓．
（2）設(shè)E（x，y），A（x₀，y₀），則D（x₀，0），由于動(dòng)點(diǎn)E滿足

.

AE

=（1-

3

3

）

.

AD

，可得

x-x0=0 y-y0= 3- 3 3 (-y0)

，解得x₀=x，y₀=

3

y，代入曲線A的軌跡方程即可得出．
（3）當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí)，直線L的方程為：x=±

3

2

，|MN|=

3

．
當(dāng)直線L的斜率存在時(shí)，設(shè)直線L的方程為：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由于坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線L的距離為

3

2

，可得

|m|

1+k2

=

3

2

．直線方程與橢圓的方程聯(lián)立化為（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出|MN|的最大值．

解答： 解：（1）直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)A的軌跡為圓：x²+y²=3(x≠±

3

)；
（2）設(shè)E（x，y），A（x₀，y₀），則D（x₀，0），

x

2 0

+

y

2 0

=3，
∵動(dòng)點(diǎn)E滿足

.

AE

=（1-

3

3

）

.

AD

，
∴

x-x0=0 y-y0= 3- 3 3 (-y0)

，解得x₀=x，y₀=

3

y，
代入曲線A的軌跡方程可得x²+3y²=3，化為

x2

3

+y2=1(x≠±

3

)．
（3）當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí)，直線L的方程為：x=±

3

2

，|MN|=

3

．
當(dāng)直線L的斜率存在時(shí)，設(shè)直線L的方程為：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∵坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線L的距離為

3

2

，
∴

|m|

1+k2

=

3

2

，化為4m²=3+3k²．
聯(lián)立

y=kx+m x2+3y2=3

，化為（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
則x₁+x₂=

-6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

．
又4m²=3+3k²．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 36k2m2 (1+3k2)2 - 4(3m2-3) 1+3k2 ]

=

3+ 12 1 k2 +9k2+6

≤

3+ 12 6+6

=2，當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

3

時(shí)取等號(hào)．
綜上可得：|MN|的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．