Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（Ⅰ）先根據(jù)條件得到CD⊥AE；再結(jié)合PA⊥平面ABCD即可得到結(jié)論的證明；
（Ⅱ）先根據(jù)直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，進(jìn)而得到四邊形BCDG是平行四邊形，在下底面內(nèi)求出BF的長以及下底面的面積，最后代入體積計算公式即可．
法二：（Ⅰ）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，進(jìn)而得到=0以及•=0．即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）先根據(jù)直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等得到PA的長，再求出下底面面積，最后代入體積計算公式即可．
解答：解法一：（Ⅰ）連接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中點，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）過點B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于點F，G，連接PF，
由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即為直線PB與平面ABCD所成的角．
由題意∠PBA=∠BPF，因為sin∠PBA=，sin∠BPF=，所以PA=BF．
由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．
所以四邊形BCDG是平行四邊形，
故GD=BC=3，于是AG=2．
在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，
所以BG==2，BF===．
于是PA=BF=．
又梯形ABCD的面積為S=×（5+3）×4=16．
所以四棱錐P-ABCD的體積為V=×S×PA=×16×=．

解法二：以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為X軸，Y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=h，則A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．
（Ⅰ）=（-4，2，0），=（2，4，0），=（0，0，h）．
因為=-8+8+0=0，•=0．
所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）由題設(shè)和第一問知，，分別是平面PAE，平面ABCD的法向量，
而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，
所以：|cos＜，＞|=|cos＜，＞|，即||=||．
由第一問知=（-4，2，0），=（（0，0，-h），又=（4，0，-h）．
故||=||．
解得h=．
又梯形ABCD的面積為S=×（5+3）×4=16．
所以四棱錐P-ABCD的體積為V=×S×PA=×16×=．
點評：本題是中檔題，利用空間直角坐標(biāo)系通過向量的計算，考查直線與平面所成角的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計算能力，是�？碱}型．