Question

設(shè)函數(shù)．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)關(guān)于的方程f(x)=a在區(qū)間上有三個(gè)根,求a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,；單調(diào)減區(qū)間為;當(dāng)時(shí)f(x)有極大值,當(dāng)x=2時(shí), f(x)有極小值-8．

(2)

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得函數(shù)極值；

（2）關(guān)于的方程f(x)=a在區(qū)間上有三個(gè)根,即函數(shù)y=a與y=f（x）的圖象在區(qū)間上有三個(gè)交點(diǎn)，只需要函數(shù)y= f(x) 和函數(shù)y=a 的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性變化情況，可求得實(shí)數(shù)a的值．

(1) ,由得 (2分)

x				2
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

由上表得, f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,；單調(diào)減區(qū)間為;

當(dāng)時(shí)f(x)有極大值,當(dāng)x=2時(shí), f(x)有極小值-8． (6分)

(2)由題知,只需要函數(shù)y= f(x) 和函數(shù)y=a 的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)． (7分)

,所以

由(1)知f(x)在,當(dāng)上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增,在在上單調(diào)遞減． (10分)

∴當(dāng) 時(shí), y= f(x) 和y=a 的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．即方程f(x)=a在區(qū)間上有三個(gè)根． (12分)

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;函數(shù)圖像的交點(diǎn)與方程的根的對(duì)應(yīng)關(guān)系．