Question

若x，y滿足條件|ax|+|y|≤1（a＞0），則
（a）P（x，y）的軌跡形成的圖形的面積為1，則a=

2

．
（b）x2+y2+

2x

a

+2y的最大值為

3 a2 ，(0＜a＜1) 3，(a≥1)

．

Answer 1

分析：（a）在平面坐標(biāo)系中畫(huà)出x，y滿足條件|ax|+|y|≤1（a＞0）的平面區(qū)域，如圖陰影部分，它是由四條直線：ax+y=1，-ax+y=1，ax-y=1，-ax-y=1，圍成的平行四邊形，其面積是三角形OAB的四倍，利用三角形面積公式即可求出a值；；
（b）由于x2+y2+

2x

a

+2y=(x+

1

a

)2+(y+1)2-(

1

a2

+1)，其中(x+

1

a

)2+(y+1)2，它表示點(diǎn)P（-

1

a

，-1）到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）的距離的平方．對(duì)a的值進(jìn)行分類討論：當(dāng)a≥1時(shí)，P到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A距離最遠(yuǎn)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，P到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)B距離最遠(yuǎn)，從而求出x2+y2+

2x

a

+2y的最大值．

解答：解：（a）在平面坐標(biāo)系中畫(huà)出x，y滿足條件|ax|+|y|≤1（a＞0）的平面區(qū)域，如圖陰影部分，
它是由四條直線：ax+y=1，-ax+y=1，ax-y=1，-ax-y=1，圍成的平行四邊形，A（0，1），B（

1

a

，0）
其面積是三角形OAB的四倍，而S_△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

×

1

a

=

1

2a

=

1

4

⇒a=2，
故答案為：2；
（b）x2+y2+

2x

a

+2y=(x+

1

a

)2+(y+1)2-(

1

a2

+1)，
其中(x+

1

a

)2+(y+1)2，
它表示點(diǎn)P（-

1

a

，-1）到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）的距離的平方，
由于取a=1時(shí)，
當(dāng)（x，y）=（0，1）和（x，y）=（

1

a

，0）時(shí)，x2+y2+

2x

a

+2y的值相同，都等于3，
∴①當(dāng)a≥1時(shí)，P到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A距離最遠(yuǎn)，
從而當(dāng)（x，y）=（0，1）時(shí)，
x2+y2+

2x

a

+2y的最大，最大值為3；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，P到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)B距離最遠(yuǎn)，
從而當(dāng)（x，y）=（

1

a

，0）時(shí)，
x2+y2+

2x

a

+2y的最大，最大值為

3

a2

，
故答案為：

3 a2 ，(0＜a＜1) 3，(a≥1)

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．