Question

如圖，四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其它四個側面都是側棱長為

5

的等腰三角形，AC∩BD=O．
（1）求二面角V-AB-C的大小
（2）求點O到平面VAB的距離．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,點、線、面間的距離計算

專題：計算題,證明題,空間角

分析：（1）取AB的中點E，連接EO，VE，VO，由正四棱錐的性質易得∠VEO為二面角V-AB-C的平面角，在Rt△VEO中分別求出OE、VE的長，可得cos∠VEO的值，從而得到∠VEO的大小，即得二面角V-AB-C的大��；
（2）設點O到平面VAB的距離為h，根據(jù)三棱錐O-VAB和體積等于三棱錐V-OAB的體積，得到S_△VAB•h=S_△OAB•VO，將題中的數(shù)據(jù)代入，可得h=

3

2

，即得點O到平面VAB的距離的大�。�

解答： 解：（1）取AB的中點E，連接EO，VE，VO，則由題意可知VE⊥AB且OE⊥AB，
∴∠VEO為二面角V-AB-C的平面角，
∵VA=VB=VC=VD=

5

，O是底面正方形ABCD的中心，
∴VO⊥平面ABCD
Rt△VEO中，OE=

1

2

BC=1，VE=

VA2-AE2

=

5-1

=2
∴cos∠VEO=

OE

VE

=

1

2

，可得∠VEO=60°
∴二面角V-AB-C的大小為60°
（2）設點O到平面VAB的距離為h，
則由V_O-VAB=V_V-OAB，得S_△VAB•h=S_△OAB•VO
∵S_△VAB=

1

2

×AB×VE=2，S_△OAB=

1

2

×AB×EO=1，VO=

22-12

=

3

∴2×h=1×

3

，得h=

3

2

即點O到平面VBC的距離為

3

2

．

點評：本題給出正四棱錐，求側面與底面所成角的大小，并求底面中心到一個側面的距離，著重考查了二面角的平面角及求法和點到平面距離求法等知識，屬于中檔題．