Question

利用展開式(a+b)n=

C

0 n

an+

C

1 n

an-1b+

C

2 n

an-2b2+…+

C

r n

an-rbr+…+

C

n n

bn（n∈N^*）回答下列問(wèn)題：
（Ⅰ）求（1+2x）¹⁰的展開式中x⁴的系數(shù)；
（Ⅱ）通過(guò)給a，b以適當(dāng)?shù)闹�，將下式化�?jiǎn)：

C

0 n

-

C 1 n

2

+

C 2 n

22

-…+(-1)n

C n n

2n

；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中化簡(jiǎn)后的結(jié)果作為a_n，求

8

n=1

an的值．

Answer 1

分析：（I）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求解
（II）根據(jù)展開式的特點(diǎn)，考慮令a=1，b=-

1

2

即可求解
（III）結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解

解答：（本小題滿分8分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="35hw4dc" class="MathJye">(1+2x)10=

C

0 10

110×(2x)0+

C

1 10

19×(2x)1+

C

2 10

18×(2x)2+…+

C

10 10

10×(2x)10
所以

C

4 10

16×(2x)4=3360x4，即（1+2x）¹⁰的展開式中x⁴的系數(shù)為3360．…（3分）
（Ⅱ）令a=1，b=-

1

2

，得

C

0 n

-

C 1 n

2

+

C 2 n

22

-…+(-1)n

C n n

2n

=(1-

1

2

)n=

1

2n

．…（6分）
（Ⅲ）

8

n=1

1

2n

=

1

2

+

1

22

+…+

1

28

=

255

256

．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)在求指定項(xiàng)的應(yīng)用及利用賦值法求解展開式的系數(shù)和，注意方法的靈活應(yīng)用．