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設數列{an}滿足a1=1，a2=2，an=
1
3
（an-1+2an-2）（n=3，4，…）．數列{bn}滿足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整數，且對任意的正整數m和自然數k，都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）記cn=nanbn（n=1，2，…），求數列{cn}的前n項和Sn．
（1）由an=
1
3
(an-1-an-2)得an-an-1=-
2
3
(an-1-an-2)（n≥3）
又a2-a1=1≠0，
∴數列{an+1-an}是首項為1公比為-
2
3
的等比數列，an+1-an=(-
2
3
)n-1
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）++（an-an-1）
=1+1+(-
2
3
)+(-
2
3
)2++(-
2
3
)n-2
=1+
1-(-
2
3
)n-1
1+
2
3
=
8
5
-
3
5
(-
2
3
)n-1，
當n為奇數時當n為偶數時
由
-1≤b1+b2≤1
-1≤b2≤1
b2∈Z，b2≠0

得b2=-1，
由
-1≤b2+b3≤1
-1≤b3≤1
b3∈Z，b3≠0

得b3=1，
同理可得當n為偶數時，bn=-1；當n為奇數時，bn=1；
因此bn=
1，n為奇數
-1，n為偶數
．
（2）cn=nanbn=
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)n-1
-
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)n-1

Sn=c1+c2+c3+c4++cn
當n為奇數時，Sn=(
8
5
-2×
8
5
+3×
8
5
-4×
8
5
++
8
5
n)-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]=
4(n+1)
5
-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]
當n為偶數時
Sn=(
8
5
-2×
8
5
+3×
8
5
-4×
8
5
+-
8
5
n)-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]=-
4n
5
-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]
令Tn=1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1①
①×
2
3
得：
2
3
Tn=1×(
2
3
)1+2×(
2
3
)2+3×(
2
3
)3+4×(
2
3
)4++n(
2
3
)n②
①-②得：
1
3
Tn=1+(
2
3
)1+(
2
3
)2+(
2
3
)3+(
2
3
)4++(
2
3
)n-1-n(
2
3
)n=
1-(
2
3
)n
1-
2
3
-n(
2
3
)n=3-(3+n)(
2
3
)n
∴Tn=9-(9+3n)(
2
3
)n
當n為奇數時當n為偶數時
因此Sn=
4n-23
5
+
9(n+3)
5
(
2
3
)n
-
4n+27
5
+
9(n+3)
5
(
2
3
)n
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足a1=1，且對任意的n∈N*，點Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，則數列{an}的通項公式為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數），則稱數列{bn}是公差為d的準等差數列．如：若cn=
4n-1，當n為奇數時
4n+9，當n為偶數時.
則{cn}是公差為8的準等差數列．
（I）設數列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．求證：{an}為準等差數列，并求其通項公式：
（Ⅱ）設（I）中的數列{an}的前n項和為Sn，試研究：是否存在實數a，使得數列Sn有連續(xù)的兩項都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數），則稱數列{bn}是公差為d的準等差數列．如數列cn：若cn=
4n-1，當n為奇數時
4n+9，當n為偶數時
，則數列{cn}是公差為8的準等差數列．設數列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求證：{an}為準等差數列；
（Ⅱ）求證：{an}的通項公式及前20項和S20．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足a1=1，a2+a4=6，且對任意n∈N*，函數f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，則數列{cn}的前n項和Sn為（　　）
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，則A2013=（　　）

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