設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,a2+a4=6,且對(duì)任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1?cosx-an+2sinx滿(mǎn)足f′(
π
2
)=0
cn=an+
1
2an
,則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn為( 。
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n
分析:依題意,可求得an-2an+1+an+2=0,于是知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,由a1=1,a2+a4=6,可求得an=n,于是知cn=an+
1
2an
=n+
1
2n
,利用分組求和的方法即可求得答案.
解答:解:∵f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1•cosx-an+2sinx,
∴f′(x)|x=
π
2
=an-an+1+an+2-an+1•sinx|x=
π
2
-an+2cosx|x=
π
2
,
=an-2an+1+an+2
∵f′(
π
2
)=0,
∴an-2an+1+an+2=0,即2an+1=an+an+2
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,
∵a2+a4=6,
∴2a1+4d=6,a1=1,
∴d=1,
∴an=1+(n-1)×1=n,
∴cn=an+
1
2an
=n+
1
2n
,
∴Sn=c1+c2+…+cn
=(1+2+…+n)+(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n

=
(1+n)n
2
+
1
2
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2

=
n2+n+2
2
-
1
2n

故選:C.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的求和,利用f′(
π
2
)=0確定數(shù)列{an}是等差數(shù)列是難點(diǎn),考查等差關(guān)系的確定與其通項(xiàng)公式的應(yīng)用,突出分組求和的應(yīng)用,屬于難題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,且對(duì)任意的n∈N*,點(diǎn)Pn(n,an)都有
.
PnPn+1
=(1,2)
,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對(duì)于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱(chēng)數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列.如:若cn=
4n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
4n+9,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).
則{cn}
是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列.
(I)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=a,對(duì)于n∈N*,都有an+an+1=2n.求證:{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式:
(Ⅱ)設(shè)(I)中的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,試研究:是否存在實(shí)數(shù)a,使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50.若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對(duì)于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱(chēng)數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列.如數(shù)列cn:若cn=
4n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
4n+9,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)
,則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=a,對(duì)于n∈N*,都有an+an+1=2n.
(Ⅰ)求證:{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列;
(Ⅱ)求證:{an}的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和S20

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=2,an+1=1-
1
an
,令An=a1a2an,則A2013
=( 。

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