Question

【題目】設(shè)是大于1的自然數(shù)，找出所有自然數(shù)，使得對于存在互質(zhì)的自然數(shù)、，滿足.

Answer 1

【答案】

【解析】

先證明一個引理.

引理 設(shè)、、、、，且滿足.若是大于1的奇數(shù)， 是奇質(zhì)數(shù)，則可以表示成的以自然數(shù)為指數(shù)的冪.

引理的證明：設(shè)為、的最大公約數(shù)，可設(shè).由已知條件有.

因此，存在某個非負(fù)整數(shù)，滿足.

由于是奇數(shù)，故有.

用表示等式右端的數(shù).由于，所以，與中至少有一個大于1.而，因此，.由式①推出.

因為且，所以，它們都能被整除，且存在某個自然數(shù)，使得.這樣，

（是某個整數(shù)）.

因為，且，于是.

設(shè)，則，即.

如果，同上面證明一樣，可以證明可被整除.如果，則；這樣重復(fù)下去，便可推出，存在某個自然數(shù)，有.

下面證明本題的結(jié)論：的可能值只有2.

設(shè)，其中，不妨設(shè).由于，，顯然且.討論如下：

（1）若是偶數(shù)，則.

于是，不是3的整數(shù)次冪，矛盾.

（2）若是奇數(shù)，且，則.于是，.以下證明.

由引理知.取，代入后，可以認(rèn)為.于是，，即證明.

由于，則.

因此，.

于是，得證.

由，推出.

而且. ②

如果②中至少有一個不等號是嚴(yán)格不等號，那么，.由推出矛盾.可見，.

那么，，且.故是惟一滿足條件的值.