Question

在直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為：

x=2cosα y= 2 sinα

（α為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并取與直角坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為：ρ=cosθ．
（I）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若P，Q分別是曲線C₁和C₂上的任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為普通方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)形式；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出曲線C₂的圓心，計(jì)算點(diǎn)P到圓心的距離d，即可得出|PQ|的最小值d-r．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ=cosθ，∴ρ²=ρcosθ，
化為普通方程是x²+y²=x，
即(x-

1

2

)2+y²=

1

4

；
（Ⅱ）設(shè)P（2cosα，

2

sinα），圓心C2(

1

2

，0)，

|PC2|= (2cosα- 1 2 )2+( 2 sinα)2   = 4cos2α-2cosα+ 1 4 +2sin2α = 2cos2α-2cosα+ 9 4

；
∴當(dāng)cosα=

1

2

時(shí)，|PC2|min=

7

2

，
∴|PQ|的最小值是|PQ|min=

7 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)熟練地把參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程和普通方程互相轉(zhuǎn)化，尋找解題的適當(dāng)方法，是基礎(chǔ)題．