Question

已知目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在約束條件

2x-3y+3≥0 3x-2y≤3 x≥0 y≥0

下的最大值為3，則代數(shù)式

1

1-a

+

4

1-b

的最小值為（　　）

• A、10
• B、9
• C、8
• D、7

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由約束條件作出可行域，由圖得到使目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值的點，解出點的坐標，代入目標函數(shù)得到a+b=1，進一步代入

1

1-a

+

4

1-b

后利用基本不等式求最值．

解答： 解：由約束條件

2x-3y+3≥0 3x-2y≤3 x≥0 y≥0

作可行域如圖，
由圖可知，當目標函數(shù)z=ax+by過可行域內(nèi)的點C時，z有最大值．
聯(lián)立

2x-3y+3=0 3x-2y=3

，解得：

x=3 y=3

．
∴C（3，3）．
則3a+3b=3，即a+b=1（a＞0，b＞0）．
∴

1

1-a

+

4

1-b

=

1

b

+

4

a

=(

1

b

+

4

a

)(a+b)=5+

a

b

+

4b

a

≥5+2

a b • 4b a

=9．
當且僅當

a+b=1 a=2b

，即a=

2

3

，b=

1

3

時上式等號成立．
故選：B．

點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．